Tirages successifs sans remise

Toutes les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.

On procède au tirage de deux boules d'une urne de la manière suivante : 

• on tire une première boule de l'urne ;
  
• sans remise, on tire une deuxième boule.
  

On note :

• \(R_1\)  l'événement : « On obtient une boule rouge lors du premier tirage » ;
  
• \(V_1\) l'événement :  « On obtient une boule verte lors du premier tirage » ;
  
• \(N_1\) l'événement : « On obtient une boule noire lors du premier tirage » ;
  
• \(R_2\) l'événement :  « On obtient une boule rouge lors du deuxième tirage» ;
  
• \(V_2\)   l'événement :  « On obtient une boule verte lors du deuxième tirage» ;
  
• \(N_2\) l'événement : « On obtient une boule noire lors du deuxième tirage » .
  

1. Calculer la probabilité des événements  \(R_1, V_1\text{ et } N_1\) .

2. a. Déterminer la composition de l'urne si la première boulée tirée est rouge.

    b. En déduire la valeur de  \(P_{R_1}(R_2), \, P_{R_1}(V_2),\, P_{R_1}(N_2)\) .

3. On modélise la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant.

Recopier et compléter cet arbre.

4. En admettant que \(P(R_2) = P(R_2 \cap R_1)+ P(R_2 \cap V_1)+P(R_2 \cap N_1)\) , calculer la probabilité pour que la deuxième boule tirée soit rouge.